Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình \(\frac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)?

* Hướng dẫn giải

Bất phương trình \(\frac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Vì \({x^2} \ge 0,\,\,\forall x \in R\) nên bất phương trình

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 0\\ \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \end{array} \right..\)

Phương trình \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - \,1 \end{array} \right.\) và \({x^2} + 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \,2\\ x = - \,3 \end{array} \right..\)

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f(x) \le 0 \Leftrightarrow x \in ( - 3; - 2) \cup {\rm{[}} - 1;1]\)

Kết hợp với \(x \in Z\) ta được x = {-1;0;1}

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm.