Cho a > b > 0 và \(x = \frac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}},\,\,y = \frac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải

\(x < y \Leftrightarrow \frac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}} < \frac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}} \)

\(\Leftrightarrow \left( {1 + a} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right) < \left( {1 + b} \right)\left( {1 + a + {a^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + b + {b^2} + a + ab + a{b^2} < 1 + a + {a^2} + b + ab + {a^2}b\\ \Leftrightarrow {b^2} + a{b^2} < {a^2} + {a^2}b \Leftrightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + ab\left( {a - b} \right) > 0 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b + ab} \right) > 0\) luôn đúng với mọi \(a > b > 0\)

Vậy x < y