Cho hàm số y = (x+1)/(2x+1) có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

       $\frac{x+1}{2x+1}=mx+\frac{m+1}{2}\iff 4m{x}^2+4mx+m-1=0 \left(1\right)$

Phương trình (1) có 2 nghiệm $x_A;x_B\iff \Delta \text{'}=4{\text{m}}^2-4m\left(m-1\right)=4m>0\iff m>0.$

Khi đó giao điểm của 2 đồ thị là $A\left(x_A;m{x}_A+\frac{m+1}{2}\right);B\left(x_B;m{x}_B+\frac{m+1}{2}\right)$ 

với $x_A+x_B=-1;x_A.x_B=\frac{m-1}{4m}$

Ta có $O{A}^2+O{B}^2=x_A^2+{\left(m{x}_A+\frac{m+1}{2}\right)}^2+x_B^2+{\left(m{x}_B+\frac{m+1}{2}\right)}^2=\frac{m^2+2m+1}{2m}=1+\frac{1}{2}\left(m+\frac{1}{m}\right)\ge 1+\frac{1}{2}.2=2$

( vì $m>0,$ theo Cauchy ta có $m+\frac{1}{m}\ge 2$. Dấu bằng xảy ra khi $m=1$