Cho \(x \geq 2\). Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x}\) bằng

* Hướng dẫn giải

\(f(x) \geq 0 \text { và }[f(x)]^{2}=\frac{x-2}{x^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}\\ =\begin{array}{l} -2\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2 x}\right)=-2\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}\right) =-2\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{16}\right)+\frac{1}{8} =-2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{8} =\frac{1}{8}-2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)^{2} . \end{array}\\ =\frac{1}{8}-2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)^{2} \leq \frac{1}{8} \Rightarrow 0 \leq f(x) \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)