Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\sqrt{6-2 x}+\sqrt{3+2 x}\)

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\left[-\frac{3}{2} ; 3\right]\)

Ta thấy \(y>0 \forall x \in\left[-\frac{3}{2} ; 3\right]\)

Ta có \(y^{2}=9+2 \sqrt{(6-2 x)(3+2 x)} \geq 9 \forall x \in\left[-\frac{3}{2} ; 3\right] . \text { Suy ra } y \geq 3 ; \forall x \in\left[-\frac{3}{2} ; 3\right]\)

Vậy \(\min\limits_{x \in\left[-\frac{3}{2} ; 3\right]} y=3\)

Theo BĐT Co-si ta có \(2 \sqrt{(6-2 x)(3+2 x)} \leq(6-2 x)+(3+2 x)=9 \text { với } \forall x \in\left[-\frac{3}{2} ; 3\right]\)

Suy ra \(y^{2} \leq 18, \forall x \in\left[-\frac{3}{2} ; 3\right] \Rightarrow y \leq 3 \sqrt{2}, \forall x \in\left[-\frac{3}{2} ; 3\right]\)

Vậy \(\begin{array}{l} \operatorname{Max} y=3 \sqrt{2} \\ \left[-\frac{3}{2} ; 3\right] \end{array}\)