Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình \((m-1) x^{2}-2 m x+m=0\) có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1?

* Hướng dẫn giải

Với \(m-1 \neq 0\) ta xét phương trình: \((m-1) x^{2}-2 m x+m=0 \text { (1). }\) 

Ta có:  \(\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c=m^{2}-m(m-1)=m\). Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì:  \(\Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow m>0\) .

Giả sử \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của (1) và \(x_{1}>1, x_{2}<1\)

Ta có: \(\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)<0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+1<0(*)\).

Theo Vi-et ta có:  \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}, x_{2}=\dfrac{m}{m-1} \\ x_{1}+x_{2}=\dfrac{2 m}{m-1} \end{array}\right.\), thay vào (*) ta có:

\(\frac{m}{m-1}-\frac{2 m}{m-1}+1<0 \Leftrightarrow \frac{-1}{m-1}<0 \Leftrightarrow m>1\). Vậy với  m > 1 thỏa mãn điều kiện bài toán.