Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x^{2}-2 m x+m+2=0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3} \leq 16\)?

* Hướng dẫn giải

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2}-m-2 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq-1 \end{array}\right.(1)\) . Theo định lý Viète ta có  \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2 m \\ x_{1} x_{2}=m+2 \end{array}\right.\).

\(\begin{array}{l} x_{1}^{3}+x_{2}^{3} \leq 16 \Leftrightarrow 8 m^{3}-6 m(m+2) \leq 16 \Leftrightarrow 8 m^{3}-6 m^{2}-12 m-16 \leq 0 \Leftrightarrow(m-2)\left(8 m^{2}+10 m+8\right) \leq 0 \\ \Leftrightarrow m-2 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2 \end{array}\) .

Kiểm tra điều kiện (1) , ta được \(m \leq-1 \text { hoặc } m=2\)