Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn ?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 \ne 0\\ x + 2 \ne 0\\ 2x - {x^2} \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x \ne \pm \,2 \end{array} \right..\)

Bất phương trình:

\(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0.\)

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(\frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \frac{9}{2}} \right) \cup \left( { - \,2;2} \right).\)

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu.