Tìm x để biểu thức \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} - 1\) luôn âm

* Hướng dẫn giải

\(\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} - 1\, < 0 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} < 1\,\left( * \right)\)

Trường hợp \(x \ge 1\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x + 2}} < 1\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{x + 2}} < 0\) \( \Leftrightarrow x + 2 > 0\) \( \Leftrightarrow x > - 2\)

So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm bất phương trình là \({S_1} = \left[ {1, + \infty } \right)\).

Trường hợp x < 1, ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{x + 2}} < 1\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - 2x}}{{x + 2}} < 0\).

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có \(x \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - \frac{1}{2},1} \right)\).

Vậy \(x \in {S_1} \cup {S_2} = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - \frac{1}{2}, + \infty } \right)\).