Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm và C(0;0;-2). Gọi D là điểm khác O sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABC...

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(D({x_0};{y_0};{z_0})\).

Ta có: \(\overrightarrow {AD} = ({x_0} + 2;{y_0};{z_o}),\) \(\overrightarrow {BD} = ({x_0};{y_0} + 2;{z_0}),\) \(\overrightarrow {CD} = ({x_0};{y_0};{z_0} + 2)\)

Từ giả thiết: 

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = 0\\ \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CD} = 0\\ \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AD} = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0}({x_0} + 2) + {y_0}({y_0} + 2) + z_0^2 = 0\\ x_0^2 + {y_0}({y_0} + 2) + {z_0}({z_0} + 2) = 0\\ {x_0}({x_0} + 2) + y_0^2 + {z_0}({z_0} + 2) = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + 2{x_0} + 2{y_0} = 0\\ x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + 2{y_0} + 2{z_0} = 0\\ x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + 2{x_0} + 2{z_0} = 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0\\ {x_0} = {y_0} = {z_0} = - \frac{4}{3} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} D(0;0;0)\\ D\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right) \end{array} \right.\)

Do D khác O nên \(D\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).

Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là (S) có phương trình dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm I(a;b;c)

Do \(A,B,C,D \in (S)\) nên có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} 4 + 4a + d = 0\\ 4 + 4b + d = 0\\ 4 + 4b + d = 0\\ \frac{{16}}{3} + \frac{8}{3}a + \frac{8}{3}b + \frac{8}{3}c + d = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow a = b = c = - \frac{1}{3};d = - \frac{8}{3}\)

Vậy \(S = a + b + c = 3.\left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1\)