Cho A(1;-1), B(3;2). Tìm M trên trục Oy sao cho nhỏ nhất.

* Hướng dẫn giải

M trên trục Oy \( \Rightarrow M\left( {0;\,y} \right)\).

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} = \left( {1;\, - 1 - y} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {3;2 - y} \right)\\ M{A^2} + M{B^2}\\ = 10 - 2y + 2{y^2}\\ = 2\left( {{y^2} - y + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{19}}{2}\\ = 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{2} \ge \frac{{19}}{2} \end{array}\)

Giá trị nhỏ nhất của \(\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)\) bằng \(\frac{{19}}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(y = \frac{1}{2}\).