Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;0), B(0;5) và C(-3;-5). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?

* Hướng dẫn giải

Gọi I(a;b) là điểm thỏa mãn: \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac{9}{5}\\ b = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{9}{5}; - 6} \right)\)

Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} - 5\overrightarrow {IM} } \right| = \left| {\overrightarrow 0 - 5\overrightarrow {IM} } \right| = 5IM\)

Do đó: \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khi IM ngắn nhất. Suy ra M là hình chiếu vuông góc của \(I\left( { - \frac{9}{5}; - 6} \right)\) trên Oy \( \Rightarrow M\left( {0; - 6} \right)\).