Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), trọng tâm , phương trình đường thẳng AB:x - y + 1 = 0. Giả sử điểm , tính .

* Hướng dẫn giải

Gọi M(a; a + 1) là trung điểm AB.

Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {a - 2;\;a} \right)\), 1 VTCP của AB là \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {1;\;1} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {IM} \bot \overrightarrow {{u_{AB}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{u_{AB}}} = 0 \Leftrightarrow a - 2 + a = 0 \Leftrightarrow a = 1\). Vậy M(1;2).

Nhận xét \(\overrightarrow {CG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{7}{3} - {x_0} = 2\left( {1 - \frac{7}{3}} \right)\\ \frac{4}{3} - {y_0} = 2\left( {2 - \frac{4}{3}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 5\\ {y_0} = 0 \end{array} \right.\).

Vậy \(2{x_0} + {y_0} = 10\).