Xét sự biến thiên của hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R \ {0}

Xét \({x_1};\,{x_2}\, \in \,D\) và \({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0\)

Khi đó với hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

\(\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{{{x_1}^2}} - \dfrac{1}{{{x_2}^2}} = \dfrac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{x_2^2.x_1^2}}\)

Trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

\(\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} < 0\) nên hàm số đồng biến.

Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\(\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} > 0\) nên hàm số nghịch biến.