Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 1. Tính góc giữa hai vec tơ và

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\ = AC.AD.\cos \widehat {CAD} - AC.AB.\cos \widehat {BAC}\\ = AC.AD.\frac{{AD}}{{AC}} - AC.AB.\frac{{AB}}{{AC}}\\ = A{D^2} - A{B^2} = 1 - 2 = - 1 \end{array}\)

Ta lại có: 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = AC.BD.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)\\ \Leftrightarrow - 1 = \sqrt 3 .\sqrt 3 .\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) \end{array} \\ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{ - 1}}{3} \)

\(\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) \) ≈ 109^o28'.