Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f(x) = -x2 + 4x - 2 trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞) .

* Hướng dẫn giải

Với \({x_1} \ne {x_2}\) ta có:

\(\begin{gathered} \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( { - {x_2}^2 + 4{x_2} - 2} \right) - \left( { - {x_1}^2 + 4{x_1} - 2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} \hfill \\ = \frac{{ - \left( {{x_2}^2 - {x_1}^2} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = - \left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4 \hfill \\ \end{gathered} \)

Với x₁, x₂ \(\in\) (-∞; 2) thì x₁ < 2; x₂ < 2

Nên x₁ + x₂ < 4 ⇒ -(x₁ + x₂ )+4 > 0

Nên f(x) đồng biến trên (-∞; 2)

Với x₁, x₂ \(\in\) (2; +∞) thì x₁ > 2; x₂ > 2

Nên x₁ + x₂ > 4 ⇒ -(x₁ + x₂ )+4 < 0

Nên f(x) nghịch biến trên (-∞; 2)