Cho đường tròn (C) có tâm I và có bàn kính R = 2a . Xét điểm M thay đổi sao cho IM = a .

* Hướng dẫn giải

\( \Rightarrow HA = HC = \frac{1}{2}AC,KB = KD = \frac{1}{2}BD\)

Kẻ \(IH \bot AC,JK \bot BD\)

Tam giác AIH có AH² = R² - IH² = 4a² - IH² => AC² = 16a² - 4IH²

Tam giác BIK có BK² = R² - IK² = 4a² - IK²  => BD² = 16a² - 4IK²

IHMK là hình chữ nhật (3 góc vuông) => IH² + IK² = IM² = a²

AC²  + BD²  = 32a²  - 4(IH²  + IK² )= 32a²  - 4a²  = 28a²

\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.AC.BD \le \frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{4} = \frac{{28{a^2}}}{4} = 7{a^2}\)

=> Max(S_ABCD) = 7a² khi AC = BD và hai dây cách tâm I một khoảng \(IH = IK = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

Vậy Max(S_ABCD) = 7a²