Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log căn 3 (x+y)/(x^2+y^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có

Khi đó, giả thiết trở thành:

$$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2} \\ =x^2+y^2+xy+2-3\left(x+y-2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff {\log }_{\sqrt{3}}\left(x+y\right)-{\log }_{\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+xy+2\right) \\ =x^2+y^2+xy+2-3\left(x+y-2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 3\left(x+y\right)+{\log }_{\sqrt{3}}3\left(x+y\right) \\ =x^2+y^2+xy+2+{\log }_{\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+xy+2\right) \end{gathered}$$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+{\log }_{\sqrt{3}} t$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, có $f^{\text{'}}\left(t\right)=1+\frac{1}{t \ln \sqrt{3}}>0;\forall t>0$.

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ mà f[3(x + y)] = f(x² + y² + xy + 2)