Trong mặt phẳng Oxy cho điểm \(A\left( {1;2} \right),B\left( {3; - 4} \right)\). Gọi M là trung điểm của AB.

* Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 6} \right)\)

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 6} \right)\) làm VTCP suy ra VTPT của AB là \(\overrightarrow n  = \left( {6;2} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua A(1;2) và có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {6;2} \right)\), nên có phương trình tổng quát là \(6\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 6x + 2y - 10 = 0\)

\(d\left( {N,AB} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {6.\left( { - 2} \right) + 2.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} }} = \sqrt {10} \)

b) \(M\left( {2; - 1} \right)\) 

VTPT của đường thẳng \(\Delta\) là \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {3;1} \right)\)

 d vuông góc với \(\Delta\) nên d nhận VTPT của \(\Delta\) là \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {3;1} \right)\) làm VTCP

Suy ra VTPT của d là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)\).

d đi qua \(M\left( {2; - 1} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)\) nên có phương trình tổng quát là \(1\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 5 = 0\)