Gọi n là số các giá trị của tham số m để bất phương trình (left( {2m - 4} ight)left( {{x^3} + 2{x^2}} ight) + left( {{m^2

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\left( {2m - 4} \right)\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right) + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {{m^3} - {m^2} - 2m} \right)\left( {x + 2} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow 2{x^2}\left( {m - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + x\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - m\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right)\left( {x + 2} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left[ {2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - m\left( {m + 1} \right)} \right] < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + m} \right)\left( {2x - m - 1} \right) < 0{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array}\)

TH1: \(m = 2 \Rightarrow 0 < 0 \Rightarrow \) Bất phương trình vô nghiệm  => m = 2 (tm).

TH2: \(m \ne 2\), vế trái (*) \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + m} \right)\left( {2x - m - 1} \right)\) là đa thức bậc ba, do đó luôn tồn tại \({x_0} \in R\) để \(f\left( {{x_0}} \right) < 0 \Rightarrow \) Bất phương trình luôn có nghiệm \(\forall m \ne 2\)

Vậy tồn tại duy nhất  để bất phương trình đã cho vô nghiệm.