Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng d:y =  - x + m  cắt đồ thị

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}
 - x + m = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}{\rm{ }}\left( {x \ne  - 1} \right) \Leftrightarrow  - {x^2} - x + mx + m =  - 2x + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - m + 1 = 0{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array}\)

Để đường thẳng d: y = -x + m  cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác .

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - m + 1} \right) > 0\\
1 + m + 1 - m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 6m - 3 > 0\\
3 \ne 0{\rm{ }}\left( {luon{\rm{ }}dung} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m >  - 3 + 2\sqrt 3 \\
m <  - 3 - 2\sqrt 3 
\end{array} \right.\)

Gọi \(A\left( {{x_A}; - {x_A} + m} \right);B\left( {{x_B}; - {x_B} + m} \right)\), khi đó \({x_A},{x_B}\)  là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = m + 1\\
{x_A}{x_B} =  - m + 1
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A{B^2} = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( { - {x_A} + m + {x_B} - m} \right)^2} = 2{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\\
 = 2\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 4\left( { - m + 1} \right)} \right] = 2\left( {{m^2} + 6m - 3} \right) \le 8 \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 3 \le 4 \Leftrightarrow  - 7 \le m \le 1
\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in Z\\
m \in \left[ { - 7; - 3 - 2\sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 3 + 2\sqrt 3 ;1} \right]
\end{array} \right. \Leftrightarrow S = \left\{ { - 7;1} \right\}\)