Cho hàm số (y = frac{{2x + 1}}{{x - 1}}) có đồ thị (C). có bao nhiêu điểm M thuộc (C) có tung độ nguyên dương

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R\{1}.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có TCĐ là \(x = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 0{\rm{ }}\left( {{d_1}} \right)\) và TCN: \(y = 2 \Leftrightarrow y - 2 = 0{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right)\).

Gọi \(M\left( {m;\frac{{2m + 1}}{{m - 1}}} \right) \in \left( C \right)\) ta có:

\(d\left( {M;{d_1}} \right) = \left| {m - 1} \right|;d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) = \left| {\frac{{2m + 1}}{{m - 1}} - 2} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 1} \right|}}\)

Vì khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang nên

\(d\left( {M;{d_1}} \right) = 3d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \frac{9}{{\left| {m - 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 4 \Rightarrow M\left( {4;3} \right){\rm{ }}\left( {tm} \right)\\
m =  - 2 \Rightarrow M\left( { - 2;1} \right){\rm{ }}\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.