Có bao nhiêu giá trị nguyên của (m in left[ {0;2018} ight]) để bất phương trình (m + {e^{frac{pi }{2}}} ge sqrt[4]{{{e

* Hướng dẫn giải

Để bất phương trình \(m + {e^{\frac{\pi }{2}}} \ge \sqrt[4]{{{e^{2x}} + 1}} = f\left( x \right)\) đúng với mọi \(x \in R \Leftrightarrow m + {e^{\frac{\pi }{2}}} \ge \mathop {\max }\limits_{x \in R} f\left( x \right)\)  

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[4]{{{e^{2x}} + 1}}\) ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{4}{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)^{\frac{{ - 3}}{4}}}.2{e^{2x}} > 0{\rm{ }}\forall x \in R\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy BPT nghiệm đúng với mọi \(x \in R \Leftrightarrow m + {e^{\frac{\pi }{2}}} > 1 \Leftrightarrow m > 1 - {e^{\frac{\pi }{2}}} \approx  - 3,81\)

Kết hợp điều kiện đề bài  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left[ {0;2018} \right]\\
m \in Z
\end{array} \right.\) ⇒ có 2019 giá trị của m thỏa mãn.