Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và (SO = asqrt 2 .

* Hướng dẫn giải

Gọi M, E là trung điểm của AB, CD và F, G là hinh chiếu của O, M lên SE.

Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}
AB//CD \subset (SCD)\\
SC \subset (SCD)
\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right)\) 

            \( = d\left( {M,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)\) 

Dễ thấy \(CD \bot (SME) \Rightarrow CD \bot OF.\) Mà \(OF \bot SE \Rightarrow OF \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O,(SCD)} \right) = OF.\) 

Xét tam giác SOE vuông tại O có 

\(OF = \frac{{SO.OE}}{{SE}} = \frac{{SO.OE}}{{\sqrt {SO{}^2 + O{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .\frac{a}{2}}}{{\sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) 

Vậy \(d\left( {M,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right) = 2OF = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\)