Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) biết nó song song với đường thẳng y = 9x

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\) 

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) la tiếp điểm của tiếp tuyến (d) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1.\) 

Khi đó hệ số góc của (d) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0}\) 

Mà (d) song song với $\(y = 9x + 6 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 6{x_0} = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 6{x_0} - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} =  - 3\\
{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 1
\end{array} \right.\) 

+ Với \(M( - 1; - 3) \Rightarrow (d):y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = 9(x + 1) - 3 = 9x + 6\) (loại vì trùng với đường thẳng y = 9x + 6) 

+ Với \(M(3;1) \Rightarrow (d):y = f'({x_0})\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = 9(x - 3) + 1 = 9x - 26\) (thỏa mãn)