Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, góc A=30 độ. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$B{C}^2={\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2$.

Ta có:

$\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\cos \widehat{A}=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a;\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2a$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{a}^2$

Do đó, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2=a^2-2.\sqrt{3}{a}^2+{\left(2a\right)}^2=\left(5-2\sqrt{3}\right)a^2$

$\Rightarrow BC=a\sqrt{5-2\sqrt{3}}$.