Rút gọn biểu thức: D = 1/2 căn bậc hai của 1 + 1 căn bậc hai của 2 +

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\\ =\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}.\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}\end{array}$

Do đó 

$D=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{.....}+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{9}{10}$