Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao và D là trung điểm của cạnh AC.

Câu hỏi :

Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao và D là trung điểm của cạnh AC. Gọi E là điểm đối xứng của H qua điểm D

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật

b) Chứng minh HE = AB

c) Gọi G là giao điểm của BD và AH. Đường thẳng CG cắt AB tại F. Chứng minh EF song song với BG.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AD}=\mathrm{DC}\\ \mathrm{HD}=\mathrm{HE}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{AECH}$ là hình bình hành

Mà $\mathrm{\Delta ABC}$ cân tại $\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{AH}$ là đường cao $\Rightarrow \widehat{\mathrm{AHC}}={90}^0\Rightarrow \mathrm{AECH}$ là hình chữ nhật

b) Ta có AECH là hình chữ nhật $\Rightarrow \mathrm{EH}=\mathrm{AC}$ mà $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}(\mathrm{\Delta ABC}$ cân)

$\Rightarrow \mathrm{EH}=\mathrm{AB}$

c) Ta có: $\mathrm{\Delta ABC}$ cân nên AH đường cao cũng là trung tuyến $\Rightarrow \mathrm{BH}=\mathrm{HC}$

Mà $\mathrm{HC}=\mathrm{AE}$ (tính chất hình chữ nhật) $\Rightarrow \mathrm{BH}=\mathrm{AE}$ mà BH//AE nên

$\mathrm{AEHB}$ là hình bình hành $\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{HE}$ và AB = HE

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{HE}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{FB}=\mathrm{DE}\\ \mathrm{FB}//\mathrm{DE}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{FEDB}$ là hình bình hành $\Rightarrow \mathrm{EF}//\mathrm{BD}\Rightarrow \mathrm{EF}//\mathrm{BG}$