Cho ba điểm I, A, B và số thực k ≠ 1 thỏa mãn vecto IA = k vecto IB. Chứng minh với O là điểm bất kì ta có

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)

Xét vế phải của đẳng thức ta có:

\(\left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)\)

\[ = \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB} \]

\[ = \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} } \right) + \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {OI} \left( {\frac{1}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right) + \frac{1}{{1 - k}}\left( {\overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow 0 \]

\[ = \overrightarrow {OI} \].