Tổng các nghiệm thuộc đoạn [0; pi/2] của phương trình 2 căn bậc hai của 3 cos^2 5x/2+sin5x = 1 + căn bậc hai của 3 là:

* Hướng dẫn giải

$2\sqrt{3}{\cos }^2\frac{5x}{2}+\sin 5x=1+\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}\left(1+\cos 5x\right)+\sin 5x=1+\sqrt{3}$

$\iff \sin 5x+\sqrt{3}\cos 5x=1$

$\iff \frac{1}{2}\sin 5x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x=\frac{1}{2}$

$\iff \sin 5x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 5x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff \left[\begin{array}{c}5x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

 

Với họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\left(k\in Z\right)$, ta được:

$0\le -\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\le \frac{\pi }{2}$

$\iff 0\le -\frac{1}{30}+\frac{2k}{5}\le \frac{1}{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{12}\le k\le \frac{4}{3}\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\Rightarrow k=1$

$\Rightarrow x=-\frac{\pi }{30}+\frac{2\pi }{5}=\frac{11\pi }{30}$

Với họ nghiệm $x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\left(k\in Z\right)$, ta được:

$0\le -\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}\le \frac{\pi }{2}$

$\iff 0\le \frac{1}{10}+\frac{2k}{5}\le \frac{1}{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\le k\le 1\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}k=0\\ k=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{10}\\ x=\frac{\pi }{10}+\frac{2\pi }{5}=\frac{\pi }{2}\end{array}\right.$

Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ là:

$\frac{11\pi }{30}+\frac{\pi }{10}+\frac{\pi }{2}=\frac{29\pi }{30}$

Đáp án cần chọn là: B