Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [-2021; 2021] để phương trình sau

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện: x > 0

$2^{x-\frac{m}{10}}={\log }_{2}x+\frac{m}{10}\iff 2^{x-\frac{m}{10}}+x-\frac{m}{10}={\log }_{2}x+x\iff 2^{x-\frac{m}{10}}+\left(x-\frac{m}{10}\right)=2^{{\log }_{2}x}+{\log }_{2}x.$

Xét hàm số $f\left(t\right)=2^t+t\left(t\in ℝ\right).$

$f\text{'}\left(t\right)=2^t\ln 2+1>0,\forall t\in ℝ\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Suy ra $f\left(x-\frac{m}{10}\right)=f\left({\log }_{2}x\right)\iff x-\frac{m}{10}={\log }_{2}x.$

Xét hàm số $g\left(x\right)=x-{\log }_{2}x$ với $x\in \left(0;+\infty \right).$

Ta có BBT như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi $\frac{m}{10}\ge g\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\iff m\ge 10.g\left(\frac{1}{\ln 2}\right).$

Mà $m\in \mathbb{Z};m\in \left[-2021;2021\right].$ Suy ra: $m\in \left\{10;11;\mathrm{....};2021\right\}$ có 2012 giá trị thỏa mãn.