Cho hàm số bậc bốn f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e (a, b,c, d, e thuộc R)

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d;f"\left(x\right)=12a{x}^2+6bx+2c.$ Theo giả thiết ta có

$\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=1\\ f"\left(0\right)=0\\ f\text{'}\left(2\right)=1\\ f\text{'}\left(1\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d=1\\ c=0\\ a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{-2}{3}\end{array}\right..$ Suy ra $f\text{'}\left(x\right)=x^3-2x^2+1;f\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+x-\frac{275}{192}.$

Xét hàm số $h\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2+2x$ ta có $h\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right)-2x+2\Rightarrow h\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\\ x=1\end{array}\right..$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g(x) đồng biến trên (1; 2)

Chọn C.