Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (o; dương vô cực) biết f'(x)+(2x+3). f^2(x)=0 , f(x)>0 , với mọi x >0 và f(1)=1/6. Tính giá trị của P= 1+f(1)+f(2)+...+f(2017) .

Đáp án B

Giả thiết tương đương với: $\frac{-f^{\text{'}}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=2x+3$ .

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:  $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{-f^{\text{'}}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}dx=\underset{}{\overset{}{\int }}(2x+3)dx$

$\Rightarrow \frac{1}{f\left(x\right)}=x^2+3x+C\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+3x+C}\Rightarrow f\left(1\right)=\frac{1}{4+C}$

Mà $f\left(1\right)=\frac{1}{6}$ , nên ta có $\frac{1}{4+C}=\frac{1}{6}\Rightarrow C=2\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$

$P=1+f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+\mathrm{...}+f\left(2017\right)$

$=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}=\frac{6055}{4038}$.