Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$

Do hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=180°$

Do đó: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.cos(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$$=OA.OB.cos180°=-OA.OA=-O{A}^2$

 Với điểm M tùy ý ta có:$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}).(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})$$={\overrightarrow{MO}}^2+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$$={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$$=M{O}^2+\overrightarrow{0}.\overrightarrow{MO}+(-O{A}^2)$

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{O}^2-O{A}^2$