Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, H là điểm

Trong (ABC) kẻ $HM\perp BC,HN\perp AC.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AC\perp HN\\ AC\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(SHN\right)\Rightarrow AC\perp SN.$

$\left\{\begin{array}{l}\left(SAC\right)\cap \left(ABC\right)=AC\\ SN\subset \left(SAC\right),SN\perp AC\\ HN\subset \left(ABC\right),HN\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(SAC\right);\left(ABC\right)\right)=\angle \left(SN;HN\right)=\angle SNH={45}^0$

CMTT ta có $\angle SMH={45}^0.$

$\Rightarrow \Delta SHN,\Delta SHM$ là các tam giác vuông cân tại $H\Rightarrow SH=HM=HN.$

$\Rightarrow CMHN$ là hình vuông $\Rightarrow CM=HN=HM=SH.$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{HN}{BC}=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow HN=\frac{1}{3}BC\Rightarrow CM=\frac{1}{3}BC.$

$\Rightarrow BM=2MC=2SH.$

Áp dụng định lí Pytago ta có: $S{B}^2=S{H}^2+H{B}^2=S{H}^2+B{M}^2+M{H}^2$

$\Rightarrow 6a^2=S{H}^2+4S{H}^2+S{H}^2=6S{H}^2\Rightarrow SH=a.$

$\Rightarrow BC=3CM=3SH=3a.$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{MH}{AC}=\frac{BH}{BA}=\frac{2}{3}\Rightarrow AC=\frac{3}{2}MH=\frac{3}{2}SH=\frac{3a}{2}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BC=\frac{1}{2}.\frac{3a}{2}.3a=\frac{9a^2}{4}.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{9a^2}{4}=\frac{3a^3}{4}.$

Chọn A.