Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4^x-3.2^x+1 + m = 0 có hai

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt $2^x=t(t>0)$.

+) Để phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1;x_2$ thì phương trình ẩn t phải có 2 nghiệm t dương phân biệt.

+) Khi đó phương trình có 2 nghiệm $t_1;t_2$ với $t_1=2^{x_1};t_2=2^{x_2}\Rightarrow x_1={\log }_2{t}_1;x_2={\log }_2{t}_2$.

+) Áp dụng công thức: $x_1+x_2={\log }_2{t}_1+{\log }_2{t}_2={\log }_2\left(t_1{t}_2\right)$.

+) Đến đây ta áp dụng điều kiện bài cho và hệ thức Vi-ét với phương trình bậc hai ẩn t để tìm điều kiện của m.

Giải chi tiết:

$Pt\iff {\left(2^x\right)}^2-{\mathrm{3.2.2}}^x+m=0\iff 2^{2x}-{6.2}^x+m=0.\text{ (1) }$

Đặt $t=2^x(t>0)$. Khi đó: $\left(1\right)\iff t^2-6t+m=0\left(2\right)$.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm t dương phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ t_1+t_2>0\\ t_1{t}_2>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}9-m>0\\ 3>0\\ m>0\end{array}\iff 0<m<9\right.\right.$

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:  $x_1={\log }_2{t}_1;x_2={\log }_2{t}_2$.

$\begin{array}{l}\Rightarrow x_1+x_2<2\iff {\log }_2{t}_1+{\log }_2{t}_2<2\\ \iff {\log }_2\left(t_1{t}_2\right)<2\\ \iff {\log }_{2}m<2\\ \iff m<2^2\iff m<4.\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có: $0<m<4$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.