Biến đổi tích phân từ 1 đến e của lnx/x(lnx+2)^2 dx thành tích phân từ 2 đến 3 của f(t)dt

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt $t=u\left(x\right)$, đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=a\Rightarrow t=u\left(a\right)=a^{\text{'}}\\ x=b\Rightarrow t=u\left(b\right)=b^{\text{'}}\end{array}\right.$.

- Bước 2: Tính vi phân $dt=u^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left(x\right)dx$ thành $g\left(t\right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{a^{\text{'}}}^{b^{\text{'}}}g\left(t\right)dt$.

Giải chi tiết:

Đặt $t=\ln x+2\Rightarrow dt=\frac{dx}{x}$.

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=2\\ x=e\Rightarrow t=3\end{array}\right.$

Khi đó ta có: $I={\int }_2^3\frac{t-2}{t^2}dt={\int }_2^{3}f\left(t\right)dt\Rightarrow f\left(t\right)=\frac{t-2}{t^2}=\frac{1}{t}-\frac{2}{t^2}$.

Chọn D.

Chú ý khi giải:

Một số em tính được $f\left(t\right)=\frac{t-2}{t^2}$  nhưng khai triển nhầm thành $f\left(t\right)=\frac{2}{t^2}-\frac{1}{t}$ và chọn nhầm đáp án A.