Cho hàm số f(x); f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f(x)+3f(-x)=1/4+x^2 . Tính

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh $I=\underset{-2}{\overset{2}{}}f\left(x\right)dx=\underset{-2}{\overset{2}{}}f\left(-x\right)dx$.

+) Lấy tích phân từ -2 đến 2 hai vế của $2f\left(x\right)+3f\left(-x\right)=\frac{1}{4+x^2}$. Tính I.

Giải chi tiết:

Đặt $t=-x\Rightarrow dx=-dt$.

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=-2\Rightarrow t=2\\ x=2\Rightarrow t=-2\end{array}\right.$

$\Rightarrow I=-{\int }_2^{-2}f(-t)dt={\int }_{-2}^{2}f(-x)dx$

Theo bài ra ta có :

$$\begin{gathered} 2f\left(x\right)+3f(-x)=\frac{1}{4+x^2}\iff 2{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx+3{\int }_{-2}^{2}f(-x)dx={\int }_{-2}^2\frac{dx}{4+x^2} \\ \iff 3I+2I={\int }_{-2}^2\frac{dx}{4+x^2}\iff I=\frac{1}{5}{\int }_{-2}^2\frac{dx}{4+x^2}. \end{gathered}$$

Đặt $x=2\tan u$ ta có $:dx=2\frac{1}{{\cos }^{2}u}du=2\left(1+{\tan }^{2}u\right)du$

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=-2\Rightarrow u=\frac{-\pi }{4}\\ x=2\Rightarrow u=\frac{\pi }{4}\end{array}\right.$.

Khi đó ta có

$I=\frac{1}{5}{\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{2\left(1+u^2\right)du}{4+4{\tan }^{2}u}=\frac{1}{10}{\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}du={\left.\frac{1}{10}u\right|}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{10}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{20}$.

Chọn A.