Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

Phương pháp giải:

- Không mất tính tổng quát, ta giả sử \[ABC.A'B'C'\] là lăng trụ đứng để bài toán đơn giản hơn.

- Trong \[\left( {ACC'A'} \right)\] kéo dài NC cắt \[AA'\] tại E. Sử dụng tỉ số thể tích Simpson tính \[\frac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MEP}}}}\].

- Tính \[\frac{{{V_{C.MEP}}}}{{{V_{C.ABB'A'}}}} = \frac{{{S_{MEP}}}}{{{S_{ABB'A'}}}}\], sử dụng phương pháp phần bù để so sánh \[{S_{MEP}}\] với \[{S_{ABB'A'}}\].

- Sử dụng nhận xét \[{V_{C.ABB'A'}} = \frac{2}{3}V\], từ đó tính \[{V_{CMNP}}\] theo V.

Giải chi tiết:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \[ABC.A'B'C'\] là lăng trụ đứng để bài toán đơn giản hơn.

Trong \[\left( {ACC'A'} \right)\] kéo dài NC cắt \[AA'\] tại E.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có \[\frac{{A'N}}{{AC}} = \frac{1}{2} = \frac{{EA'}}{{EA}} = \frac{{EN}}{{EC}} \Rightarrow N\] là trung điểm của của CE \[ \Rightarrow \frac{{CN}}{{CE}} = \frac{1}{2}\].

Ta có: \[\frac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MEP}}}} = \frac{{CM}}{{CM}}.\frac{{CN}}{{CE}}.\frac{{CP}}{{CP}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{C.MNP}} = \frac{1}{2}{V_{C.MEP}}\]

Dựng hình chữ nhật \[ABFE\], ta có: \[{S_{ABFE}} = {S_{ABB'A'}}\]; \[\frac{{{S_{EAM}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{4}\]; \[\frac{{{S_{PEF}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{PF}}{{BF}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]; \[\frac{{{S_{PMB}}}}{{{S_{ABFE}}}} = \frac{1}{2}.\frac{{PB}}{{BF}}.\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{12}}\].

Khi đó ta có:

\[{S_{MEP}} = {S_{ABFE}} - {S_{EAM}} - {S_{PEF}} - {S_{PMB}}\]

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {S_{ABFE}} - \frac{1}{4}{S_{ABFE}} - \frac{1}{3}{S_{ABFE}} - \frac{1}{{12}}{S_{ABFE}}\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{1}{3}{S_{ABFE}} = \frac{2}{3}{S_{ABB'A'}}\]

Ta có: \[\frac{{{V_{C.MEP}}}}{{{V_{C.ABB'A'}}}} = \frac{{{S_{MEP}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \frac{2}{3}\]. Mà \[{V_{C.ABB'A'}} = \frac{2}{3}V\] nên \[{V_{C.MEP}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}V = \frac{4}{9}V\].

Vậy \[{V_{C.MNP}} = \frac{1}{2}{V_{C.MEP}} = \frac{2}{9}V\].