Gọi n là số nguyên dương sao cho 1/log3x +1/log3^2x+1/log3^3x+....

Phương pháp giải:

Tìm n từ điều kiện đề bài cho, rồi thay giá trị của n tìm được vào biểu thức $P=2n+3$.

Sử dụng các công thức ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b,\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{b}a$ (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Giải chi tiết:

Với $\forall x>0,x\ne 1$ ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\log }_{3}x}+\frac{1}{{\log }_{3^2}x}+\frac{1}{{\log }_{3^3}x}+\dots +\frac{1}{{\log }_{3^n}x}=\frac{190}{{\log }_{3}x} \\ \iff {\log }_{x}3+{\log }_x{3}^2+\dots +{\log }_x{3}^n=190.{\log }_{x}3 \\ \iff {\log }_x\left({3.3}^2{.3}^3\dots 3^n\right)=190.{\log }_{x}3 \\ \begin{array}{l}\iff {\log }_x{3}^{1+2+3+\dots +n}=190.{\log }_{x}3\\ \iff {\log }_x{3}^{\frac{n(n+1)}{2}}=190.{\log }_{x}3\iff \frac{n(n+1)}{2}{\log }_{x}3=190.{\log }_{x}3\\ \iff \frac{n(n+1)}{2}=190\iff n(n+1)=380\iff n=19\\ \Rightarrow P=2n+3=2.19+3=41\end{array} \end{gathered}$$

Chọn B.