Đặt [a = { log _3}4,{ mkern 1mu} { mkern 1mu} b = { log _5}4. ] Hãy biểu diễn [{ log _{12}}80 ] theo a và b.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}}\\{{{\log }_a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}}\\{{{\log }_a}\left( {bc} \right) = {{\log }_a}b + {{\log }_a}c}\end{array}} \right..\]

Giải chi tiết:

Ta có: \[80 = {4^2}.5;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 12 = 3.4\]

\[ \Rightarrow {\log _{12}}80 = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5 = 2{\log _{12}}4 + {\log _{12}}5\]

\[ = \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}12}} = \frac{2}{{{{\log }_4}3 + 1}} + \frac{1}{{{{\log }_5}4 + {{\log }_5}3}}\]

\[ = \frac{2}{{\frac{1}{a} + 1}} + \frac{1}{{\frac{b}{a} + b}} = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}.\]