Cho số phức z thay đổi thỏa mãn [ left| {z - 1} right| = 1. ] Biết rằng tập hợp các số phức [w = left( {1 + sqrt 3 .i} right)z + 2 ] là đường tròn có bán kính bằng [R. ] Tính R.

Phương pháp giải:

Biểu diễn số phức z theo w rồi thay vào giả thiết \[\left| {z - 1} \right| = 1\] đtìm tập hợp điểm biểu diễn w từ đó suy ra bán kính đường tròn.

Giải chi tiết:

Ta có \[w = \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z + 2\]

\[w = \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z + 2 \Rightarrow \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z = w - 2 \Leftrightarrow z = \frac{{w - 2}}{{1 + \sqrt 3 i}}\]

Đặt  \[w = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\]

\[ \Rightarrow z = \frac{{x + yi - 2}}{{1 + \sqrt 3 i}} = \frac{{\left[ {\left( {x - 2} \right) + yi} \right]\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}}{4} = \frac{{x - 2 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i\]

Ta có \[\left| {z - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 2 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i - 1} \right| = 1\]

\[ \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 6 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i} \right| = 1\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x + y\sqrt 3 - 6} \right)^2} + {\left( {y - x\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right)^2} = 16\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 3{y^2} + 36 - 12x - 12\sqrt 3 y + 2\sqrt 3 xy + {y^2} + 3{y^2} + 12 - 2xy\sqrt 3 + 4\sqrt 3 y - 12x - 16 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 24x - 8\sqrt 3 y + 32 = 0\]\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2\sqrt 3 y + 8 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} = 4\]

 Nên bán kính đường tròn là \[R = 2.\]