Cho tích phân I= tích phân từ 1 đến căn 3 của căn 1+x^2/x^2 dx. Nếu đổi biến số

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt $\text{t}=\text{u}\left(\text{x}\right)$, đổi cận $\left\{\begin{array}{l}\text{x}=\text{a}\Rightarrow \text{t}=\text{u}\left(\text{a}\right)={\text{a}}^{\text{'}}\\ \text{x}=\text{b}\Rightarrow \text{t}=\text{u}\left(\text{b}\right)={\text{b}}^{\text{'}}\end{array}\right.$.

- Bước 2: Tính vi phân $\text{dt}={\text{u}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)\text{dx}$.

- Bước 3: Biến đổi $\text{f}\left(\text{x}\right)\text{dx}$ thành $\text{g}\left(\text{t}\right)\text{dt}$.

- Bước 4: Tính tích phân ${\int }_a^b\text{f}\left(\text{x}\right)\text{dx}={\int }_{\text{a}}^{\text{b}}\text{g}\left(\text{t}\right)\text{dt}$.

Giải chi tiết:

Đặt $t=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\iff t^2=\frac{x^2+1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}$

$\Rightarrow 2\text{tdt}=-\frac{2}{{\text{x}}^3}\text{dx}\Rightarrow \text{tdt}=-\frac{\text{dx}}{{\text{x}}^3}=-\frac{\text{dx}}{\text{x}}\cdot \frac{1}{{\text{x}}^2}$

Và $t^2{x}^2=x^2+1\Rightarrow x^2\left(t^2-1\right)=1\iff x^2=\frac{1}{t^2-1}$

$\Rightarrow \frac{dx}{x}=-\frac{t}{t^2-1}dt$

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}\\ x=\sqrt{3}\Rightarrow t=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

Khi đó ta có: $I=-\underset{\sqrt{2}}{\overset{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\int }}\frac{t^2}{t^2-1}dt$

Chọn A.

Chú ý khi giải:

Một số em tính sai vi phân $\frac{dx}{x}=\frac{t}{t^2-1}dt$  dẫn đến chọn nhầm đáp án C.