Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC= 2a

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (AB′C′) và (A′B′C′): góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng  nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao h=AA′.

- Tính diện tích đáy SA′B′C′, sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}ab\mathrm{sinC}$.

- Tính thể tích khối lăng trụ V=Sh.

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của B'C'. Vì tam giác A'B'C' cân tại A' nên ${\text{A}}^{\text{'}}\text{D}\perp {\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}$ (trung tuyến đồng thời là đường cao).

Ta có: $\left.\begin{array}{l}{\text{A}}^{\text{'}}\text{D}\perp {\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\\ {\text{AA}}^{\text{'}}\perp {\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow {\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\perp \left({\text{AA}}^{\text{'}}\text{D}\right)\Rightarrow {\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\perp \text{AD}$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left({\text{AB}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\right)\cap \left({\text{A}}^{\text{'}}{\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\right)={\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\\ \left({\text{ABC}}^{\text{'}}\right)\supset \text{AD}\perp {\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\\ \left({\text{A}}^{\text{'}}{\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\right)\supset {\text{A}}^{\text{'}}\text{D}\perp {\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \angle \left(\left({\text{AB}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\right);\left({\text{A}}^{\text{'}}{\text{B}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}\right)\right)=\angle \left(\text{AD};{\text{A}}^{\text{'}}\text{D}\right)=\angle {\text{ADA}}^{\text{'}}={60}^{°} \end{gathered}$$ 

Vì tam giác A'B'C' cân tại A' nên $\angle {\text{DA}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\angle {\text{B}}^{\text{'}}{\text{A}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}={60}^{°}$ (trung tuyến đồng thời là phân giác).

Xét tam giác vuông A'C'D' có: ${\text{A}}^{\text{'}}\text{D}={\text{A}}^{\text{'}}{\text{C}}^{\text{'}}.\cos {60}^{°}=2\text{a.}\frac{1}{2}=\text{a}$.

Xét tam giác vuông AA'D' có: ${\text{AA}}^{\text{'}}={\text{A}}^{\text{'}}\text{D.}\tan {60}^{°}=\text{a.}\sqrt{3}$.

Ta có: ${\text{S}}_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\text{AB.AC.}\sin \angle \text{BAC}=\frac{1}{2}.2\text{a}.2\text{a.}\frac{\sqrt{3}}{2}={\text{a}}^2\sqrt{3}$.

Vậy ${\text{V}}_{{\text{ABC.A}}^{\text{'}}{\text{B}}^{\text{'}}C\text{'}}={\text{AA}}^{\text{'}}{\text{.S}}_{\text{ABC}}=\text{a}\sqrt{3}{\text{.a}}^2\sqrt{3}=3{\text{a}}^3$.

Chọn D.