Biết rằng đường thẳng y=x-m cắt đồ thị hàm số y=x^3-3x^2 tại ba điểm phân

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

+) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại suy ra phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

+) Gọi 3 nghiệm của phương trình là $a-d;a;a+d(d\ne 0)$, sử dụng định lí Vi-et của phương trình bậc ba.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^3-3x^2=x-m\iff x^3-3x^2-x+m=0$ (∗)

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại ⇒pt(∗) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

Gọi 3 nghiệm của phương trình (*) theo thứ tự của 1 CSC là $a-d;a;a+d\left(d\ne 0\right)$.

Theo định lí Vi-et ta có $a-d+a+a+d=\frac{-b}{a}=3\iff \frac{-b}{a}=3\iff 3a=3\iff a=1$ 

⇒pt(∗) có 1 nghiệm x=1⇒1−3−1+m=0⇔m=3

Khi đó phương trình  (*) có dạng $x^3-3x^2-x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\left(tm\right)\\ x=3\end{array}\right.$ 

Vậy m=3∈(2;4).

Chọn A.