Cho a, b là các số dương thỏa mãn log9a=log16b=log12 5b-a/2 . Tính giá trị

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt ${\log }_{9}a={\log }_{16}b={\log }_{125}b-a^2=t{\log }_{9}a={\log }_{16}b={\log }_{125}b-a^2=t$, biến đổi đưa về phương trình ẩn tt.

- Giải phương trình suy ra abab.

Giải chi tiết:

Đặt ${\log }_{9}a={\log }_{16}b={\log }_{125}b-a^2=t{\log }_{9}a={\log }_{16}b={\log }_{125}b-a^2=t$ ta được: $a=9t,b=16t,5b-a^2=12t, a=9t,b=16t, 5b-a2=12t$

Suy ra $5.16t-9t^2=12t\iff 5.16t-2.12t-9t=0\iff 5-2.$$$\begin{gathered} \left(34\right)t-\left(34\right)2t=0 \iff \left(34\right)t=\sqrt{6}-15.16t-9t^2=12t \\ \iff 5.16t-2.12t-9t=0 \\ \iff 5-2.\left(34\right)t-\left(34\right)2t=0 \\ \iff \left(34\right)t=6-1 \end{gathered}$$

Do đó $ab=9t16t=\left(34\right)2t=(\sqrt{6}-1)2=7-2\sqrt{6}ab=9t16t=\left(34\right)2t=(6-1)2=7-26$.Chọn B.

- Đặt ${\log }_{9}a={\log }_{16}b={\log }_{12}\frac{5b-a}{2}=t$, biến đổi đưa về phương trình ẩn t.

- Giải phương trình suy ra $\frac{a}{b}$.

Giải chi tiết:

Đặt ${\log }_{9}a={\log }_{16}b={\log }_{12}\frac{5b-a}{2}=t$ ta được: $a=9^t,b={16}^t,\frac{5b-a}{2}={12}^t$

Suy ra

$\frac{{5.16}^t-9^t}{2}={12}^t\iff {5.16}^t-{2.12}^t-9^t=0\iff 5-2.{\left(\frac{3}{4}\right)}^t-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{2t}=0\iff {\left(\frac{3}{4}\right)}^t=\sqrt{6}-1$

Do đó $\frac{a}{b}=\frac{9^t}{{16}^t}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{2t}={(\sqrt{6}-1)}^2=7-2\sqrt{6}$.

Chọn B