Biết hàm số f(x)=x^3+ax^2+bx+c đạt cực trị tại điểm x=1, f(x)=-3 và đồ thị

Phương pháp giải:

- Hàm số đạt cực trị tại $x=x_0=>f\text{'}\left(x_0\right)=0$.

- Thay điểm $\left(1;-3\right);\left(0;2\right)$ vào hàm số.

- Giải hệ phương trình tìm a,b,c.

- Giải phương trình $f\left(x\right)=2$.

Giải chi tiết:

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b$ .

Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 1 nên 3+2a+b=0.

$f\left(1\right)=-3=>1+a+b+c=-3\iff a+b+c=-4$ 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tùng độ bằng 2 nên c=0

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3+2a+b=0\\ a+b+c=-4\\ c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-5\\ c=0\end{array}\right.\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+x^2-5x$ 

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=2\iff x^3+x^2-5x=2\\ \iff \left(x-2\right)\left(x^2+3x+1\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\end{array}$ 

Vậy phương trình $f\left(x\right)=2$ có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn D.