Cho các số phức z và w thỏa mãn (2+i)z=z/w+1-i . Tìm giá trị lớn nhất của T=|w+1-i| .

Đáp án A

Ta có $\left(2+i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w}+1-i\iff 2\left|z\right|+\left|z\right|i-1+i=\frac{z}{w}\iff 2\left|z\right|-1+\left(\left|z\right|+1\right)i=\frac{z}{w}$  (lấy môđun hai vế)

 $\iff \sqrt{{\left(2\left|z\right|-1\right)}^2+{\left(\left|z\right|+1\right)}^2}=\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}\iff {\left|w\right|}^2=\frac{{\left|z\right|}^2}{5{\left|z\right|}^2-2\left|z\right|+2}\stackrel{t=\left|z\right|>0}{\to }{\left|w\right|}^2=f\left(t\right)=\frac{t^2}{5t^2-2t+2}$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2}{5t^2-2t+2}$  trên $\left(0;+\infty \right)\to \underset{\left(0;+\infty \right)}{\max }f\left(t\right)=\frac{2}{9}$

Do đó ${\left|w\right|}^2\le \frac{2}{9}\iff \left|w\right|\le \frac{\sqrt{2}}{3}$

Lại có  $T=\left|w+1-i\right|\le \left|w\right|+\left|1-i\right|\le \frac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ .