Hàm số y = ln(x + căn bậc hai của 1 + x^2) + căn bậc hai của 1 + x^2

Chọn D.

ĐK: $x+\sqrt{1+x^2}>0.$

Ta thấy $1+x^2>x^2\left(\forall x\in ℝ\right)\Rightarrow \sqrt{1+x^2}>\left|x\right|\left(\forall x\in ℝ\right)\Rightarrow \sqrt{1+x^2}+x>0\left(\forall x\in ℝ\right)$

TXĐ: $D=ℝ.$

Ta có:

$y\text{'}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+x}{\sqrt{1+x^2}}.$

Cho $y\text{'}=0\Rightarrow 1+x=0\iff x=-1.$

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số tăng trên khoảng $\left(-1;+\infty \right)$ và giảm trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right).$