Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' với ABC là tam giác vuông cân tại C có

Phương pháp giải:

- Dựng mặt phẳng đi qua I và vuông góc với AB' (là mặt phẳng DIC) với D là trung điểm của AA'.

- Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra diện tích tam giác AIC.

- Tính độ dài đường cao AA' của lăng trụ và độ dài đường cao DA của hình chóp D.AIC.

- Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khối chóp DAIC, từ đó tính được thể tích phần còn lại của khối lăng trụ được chia bởi mặt phẳng (DIC)

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của AA' ta có ID là đường trung bình của tam giác $A{A}^{\text{'}}B\Rightarrow ID\parallel A^{\text{'}}B$.

Mà $A^{\text{'}}B\perp A{B}^{\text{'}}$ (do ABB'A là hình vuông)

Tam giác  vuông cân tại C nên $\Rightarrow ID\perp A{B}^{\text{'}}$. Mà $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp IC$

$$\begin{gathered} \Rightarrow IC\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow IC\perp A{B}^{\text{'}} \\ \Rightarrow A{B}^{\text{'}}\perp \left(ICD\right) \end{gathered}$$

⇒ Mặt phẳng qua I và vuông AB'  góc với là (ICD)

Tam giác ABC vuông cân tại C nên $AC=BC=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$ .

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^2}{4}$.

Vì ABB'A' là hình vuông $\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=AB=a.$

$\Rightarrow V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{ABC}=a.\frac{a^2}{4}=\frac{a^3}{4}=V$

Ta có:

$$\begin{gathered} V_{D.ACI}=\frac{1}{3}AD.S_{ACI}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}A{A}^{\text{'}}.\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{12}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{12}.\frac{a^3}{4}=\frac{a^3}{48}=V_1 \\ \Rightarrow V_2=V-V_1=\frac{a^3}{4}-\frac{a^3}{48}=\frac{11a^3}{48}. \end{gathered}$$